欢迎访问会宫中学网站
 
课题研究
对一道课本习题的进一步探究 (会宫中学:姚汉兵)
对一道课本习题的进一步探究
姚汉兵
(安徽省枞阳县会宫中学  
现行普通高中课程标准实验教科书(人教版)必修第页有这样一道习题:
观察以下各等式:



分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.
与其配套的教师教学用书给出的解答是:反映一般规律的等式是(表述形式不唯一):

证明略.
本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:
        
        
         ,其中,等等.
本文对此作进一步的探究,将题目中的三个等式改写为:
            
            
             .
观察它们的结构特征,不难得出如下的等式:
      .
证明:
   
 
 
 
.
一道向量试题的变式
 芳
(安徽省枞阳县会宫中学 246740)
试题: 是平面上一定点, 、、是平面上不共线的三点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的(   ).
.外心            .内心            .重心            .垂心
(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心)
解析:由.易知、均是单位向量,则以、为邻边的平行四边形是菱形,所以的方向为(为的平分线)的方向,又 ,所以的方向为的方向.故动点的轨迹一定通过的内心.选 .
变式:若动点满足,,则动点的轨迹一定通过的(   ).
.外心            .内心            .重心            .垂心
解析:由(为边的中点)
所以动点的轨迹一定通过的重心. 选 .
变式:若动点满足,则动点的轨迹一定通过的(   ).
.外心            .内心            .重心            .垂心
解析:由 .
因为,所以 .故动点的轨迹一定通过的垂心. 选 .
变式:若动点满足,则动点的轨迹一定通过的(   ).
.外心            .内心            .重心            .垂心
解析:设为边的中点,则 .
.
因为,所以 .故动点的轨迹一定通过的外心. 选 .
变式:若动点满足,则动点的轨迹一定通过的(   ).
.外心            .内心            .重心            .垂心
解析:由 .由正弦定理可知,所以(为边的中点).故动点的轨迹一定通过的重心. 选 .
一道高考填空题的引申
李志胜
(安徽省枞阳县会宫中学 
年全国II卷理科第题:
已知、为圆:的两条相互垂直的弦,垂足为,则四边形的面积的最大值为_________.
引申:过圆:内一定点(异于圆心)作相互垂直的弦、,则当弦长相等,即时,四边形的面积取得最大值;
当一弦为最长弦,另一弦为最短弦时,四边形的面积取得最小值.
证明,令(为常数且).作于,作于,则四边形是矩形,设(为变量且),则,,.
设四边形的面积为,则
.
因为,所以
当,即(弦长相等)时,四边形的面积取得最大值为;
当或,即一弦为最长弦,另一弦为最短弦时,四边形的面积取得最大值为 .
相应地,椭圆也具有类似的结论:
过椭圆的焦点作两条相互垂直的弦、,则
当弦长相等,即时,四边形的面积取得最大值;
当一弦为最长弦(长轴),另一弦为最短弦(通径)时,四边形的面积取得最小值.
 
一道高考题的引申
付朝华
(安徽省枞阳县会宫中学 
年山东卷理科第题:
设椭圆:过,两点,为坐标原点.
(I)求椭圆的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,,且?若存在,写出该圆的方程,并求的取值范围;若不存在,说明理由.
I)椭圆的方程为 .
(II)存在圆满足题意,且.
本文将对第(II)问进行如下引申
已知椭圆:,设圆上任意点处的切线与椭圆恒有两个交点,,且.则
⑴;
⑶;
.
证明:⑴易知.
当直线的斜率存在时,令直线的方程为,①
将其代入椭圆的方程并整理得, .
设,,则, .
因为,所以.③
将①代入③并整理得,.
联立②得,.④
因为直线和圆相切,因此,.
由④得,,
当切线的斜率不存在时,易得,由椭圆的方程得,,显然.故 .
⑵因为,,
所以 .
.
⑶设,,则 .于是
因为,所以.
⑷因为,
所以
相应地,双曲线也具有类似的结论
已知双曲线:,设圆上任意点处的切线与椭圆恒有两个交点,,且.则
⑴;⑵
⑶;⑷ .
对一道练习题的探究
吴 斌
(安徽省枞阳县会宫中学 
安徽教育出版社岀版的高二同步作业选修2-1上有这样一道试题:
已知椭圆方程是,P点是椭圆外一点,过点P作椭圆的两条切线PA,PB, A,B为两切点,且PA PB。求动点P的轨迹方程。
解:设 ,,,则方程为: , 的方程为: ,又因为又过点 .故的方程又可写为:  所以直线AB的方程为:①,又 ,,,整理得② . 又设直线AB为:  ③,将直线方程和椭圆方程联立 ,消去y并整理得:,, .   代入②式并整理得:  ④ ,又因为①,③是同一个方程,则有:代入④式可得  ,当这两条直线的一条斜率不存在时,另一条直线的斜率为0,同样适合式.故点P的轨迹方程是 .它是一个圆心在原点,半径为
的圆.那么这个性质在双曲线、抛物线中是否可以推广?我们继续探究.
结论1、已知双曲线方程是,P点是双曲线外一点,过点P作的双曲线两条切线PA,PB, A,B为两切点,且PA PB。动点P的轨迹仍然是一个圆。
证明:设 ,,,则方程为: , 的方程为: ,又因为又过点 .
的方程又可写为:  所以直线AB的方程为:  ①又 ,,,整理得  ②,又设直线AB为:  ③,将直线方程和双曲线方程联立 ,消去y并整理得:,, .   
代入②式并整理得:  ④ ,又因为①,③是同一个方程,则有:,。代入④式可得
它是一个圆心在原点,半径为的圆.
结论2己知抛物线方程为 , P点是抛物线外一点,过点P作的抛物线的两条切线PA,PB, A,B为两切点,且PA PB。动点P的轨迹为一条直线。
证明:设 ,,,由题意可知:的方程分别为:,,又因为又过点 .故有的方程又可写为:,  所以直线AB的方程为:  ①,因为 ,,,整理得  ②,又设直线AB为:  ③,将直线方程和抛物线方程联立 ,消去x并整理得:,代入②式并整理得:  ④ ,又因为①,③是同一个方程,则有:代入④式可得:。故点P的轨迹方程是 .为抛物线的准线方程。
 
 

 
网站首页  |  学校简介  |  校园新貌  |  资质荣誉  |  校史长廊  |  校园新闻  |  图片新闻  |  教研工作   |  后勤工作  |  咨询服务  |  公开留言  |  友情链接 
版权所有:©安徽省枞阳县会宫中学    电话:0556-2531023    邮编:246000    皖ICP备09004304号   网址:http://www.ahhgzx.com
地址:安徽省安庆市枞阳县会宫乡